Добрый вечер реактор!
Здесь я хотел бы немного рассказать про Платоновы тела, а также коснуться современного использования n-мерных многогранников (например, фуллеренов).
Добро пожаловать в комментарии.
Здесь я хотел бы немного рассказать про Платоновы тела, а также коснуться современного использования n-мерных многогранников (например, фуллеренов).
Добро пожаловать в комментарии.
Еще на тему
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Но почему правильные многогранники называют Платоновыми телами?
Платон (428-348 до н.э.) в своих трудах много внимания уделил взглядам пифагорейцев на правильные тела, поскольку и сам считал, что вся Вселенная имеет форму додекаэдра, а материя состоит из атомов четырех типов, которые имеют форму тетраэдров, кубов, октаэдров и икосаэдров. Он первым воспел красоту правильных
выпуклых многогранников, обладающих удивительной симметрией в трёхмерном пространстве. Грани этих многогранников – это правильные многоугольники с одинаковым числом сторон; в каждой вершине многогранников сходится одинаковое
число рёбер. Примечательно, что все пять Платоновых тел в разные времена использовались в качестве игральных костей.
Теэтет Афинский (417 - 369 до н. э.), современник Платона, дал математическое описание правильных многогранников и первое известное доказательство того, что их
ровно пять.
После них эстафету принял Евклид (365-300 до н.э.). В заключительной книге знаменитых «Начал» Евклид дал не только полный, подробный анализ Платоновых тел, но и простейшее геометрическое доказательство существования не более пяти правильных тел.
Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Эпиграфом к книге выбрано высказывание Бертрана Рассела: «Математика владеет не только
истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».
Эта мысль Бертрана Рассела, прежде всего, может быть отнесена к правильным многогранникам, с которых и начинается книга М. Венниджера. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами, названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии.
Начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники.
Первый из них – это тетраэдр (Рис. а). В тетраэдре три равносторонних
треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника,
который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.
Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками,
называется октаэдром (Рис. б). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью
треугольными гранями – октаэдр.
Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (Рис. г).
Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (Рис. в).
Наконец, существует еще одна возможность построения правильного
многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (Рис. д).
Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим плоскость, то есть, из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.
С давних времен Платоновы тела привлекали внимание исследователей своими исключительными симметрическими свойствами. Обычно для характеристики симметрии некоторого объекта приводится полная совокупность элементов симметрии. Например, группа симметрий снежинки имеет вид L66Р. Это означает, что снежинка имеет одну ось
симметрии шестого порядка L6, то есть, может 6 раз «самосовмещаться» при повороте вокруг оси, и 6 плоскостей симметрии. Группа симметрий цветка ромашки, имеющего 24 лепестка, имеет вид L2424Р, то есть, цветок имеет одну ось 24-го порядка и 24 плоскости симметрии. В таблице приведены группы симметрий всех «Платоновых Тел».
Анализ симметрий «Платоновых Тел», приведенных в Таблице, показывает, что группы симметрий куба и октаэдра, а также додекаэдра и икосаэдра совпадают. Это связано с тем, что додекаэдр дуален икосаэдру, а куб дуален октаэдру. Анализ этой таблицы показывает,
что додекаэдр и икосаэдр выделяются своими симметрическими свойствами среди других Платоновых тел. Группа симметрий 6L5 10L3 15L2 15Р С означает, что додекаэдр и икосаэдр обладают 6 линиями симметрии 5-го порядка L5, 10 линиями симметрии 3-го порядка L3, 15 линиями симметрии 2-го порядка L2, 15 плоскостями симметрии Р и центром симметрии С. Не случайно, что один из авторов открытия фуллеренов, Нобелевский лауреат Гарольд Крото в свой Нобелевской лекции начинает свой рассказ о симметрии как «основе нашего восприятия физического мира» и ее «роли в попытках его всестороннего
объяснения» именно с Платоновых тел и «элементов всего сущего»: «Понятие структурной симметрии восходит к античной древности... Наиболее известные примеры можно, конечно, обнаружить в диалоге "Тимей" Платона, где в разделе 53, относящемся к "Элементам", он пишет: "Во-первых, каждому (!), разумеется, ясно, что огонь и земля, вода и воздух суть тела, а всякое тело — сплошное" (!!) Платон
обсуждает проблемы химии на языке этих четырех элементов и связывает их с четырьмя Платоновыми телами (в то время только четырьмя, пока Гиппарх не открыл пятый — додекаэдр). Хотя на первый взгляд такая философия может показаться несколько наивной, она указывает на глубокое понимание того, каким образом в действительности функционирует Природа».
ну ахуеть теперь. Давайте и я буду копипастить свои старые доклады с универа или куски курсачей.
Разве это плохо?
Многоугольники рисуют на плоскости, а многогранники в обычном трёхмерном пространстве. Аналогичные объекты в размерности 4 (или более!) обычно называются политопами однако их часто тоже называют просто многогранниками.
В то время, как Платон обсуждал правильные многогранники в обычном трёхмерном пространстве, Шлефли описывал правильные многогранники в размерности 4. Одно из самых ценных его достижений: полное и точное описание шести правильных многогранников в размерности 4. Поскольку они живут в размерности 4, у них есть вершины, ребра, грани размерности 2 и грани размерности 3. Вот таблица с именами этих многогранников, количеством ребер, граней и т.д.:
Немного истории.
Долгие годы считалось, что углерод может образовывать две кристаллические структуры — алмаз и графит. Алмаз имеет пространственную структуру, в которой атомы углерода, образующие между собой сильные химические связи, ориентированы относительно друг друга не в плоскости, а в пространстве. Структура графита слоистая, т.е. каждый атом образует сильные химические связи с другими атомами, расположенными в одной с ним плоскости, в то время как химические связи с ближайшими атомами соседнего слоя относительно слабые. Поэтому разделить соседние слои значительно легче, чем разорвать каждый из слоев.
Склонность углерода к образованию поверхностных структур еще в большей степени проявилась в новых формах углерода — фуллеренах и нанотрубках, открытых во второй половине 80-х годов. Это замкнутые поверхностные структуры углерода, которые проявляют специфические свойства как своеобразные материалы, как физические объекты и как химические системы. Создание в 1990 г. эффективной технологии синтеза, разделения и глубокой очистки фуллеренов привлекло к проблеме изучения фуллеренов тысячи исследователей — специалистов в области физики, химии, материаловедения и т.п. Интенсивные усилия этих специалистов, работающих в сотнях лабораторий различных стран, привели к открытию многих новых интересных свойств фуллеренов. Указанные свойства позволяют относиться к фуллеренам не только как к новому привлекательному объекту фундаментальной науки, но и как к основе для широкого круга прикладных разработок.
Электрические, оптические и механические свойства фуллеренов в конденсированном состоянии указывают как на богатое физическое содержание явлений, происходящих при участии фуллеренов, так и на значительные перспективы использования этих материалов в электронике, оптоэлектронике и других областях техники.